0.9999……=1吗?李永乐老师讲数学公理化

作者: admin 分类: 科学 发布时间: 2021-10-02 23:01

        现在呢我们终于可以解释我们最开始要说的问题了,就是我们要证明一件事儿。0.999循环到底等不等于呢?我们要证明这个树他确实是等于一的。我们怎么证明呢?我来说过啊,每一个戴德金分割对应了一个实数,这两个数都是实数,所以他一定对应了有理数的戴德金分割。我们要把。有理数进行分割分割。

        有的时候啊把有理数可以分割成什么呢?比如分割成A和B这两个集合,它对应的是第一个数字,0.999循环。我们也可以啊把它禁行C和D分割对应的第二个数字就是一。那我们这个A和BC和A都怎么定啊?显而易见,我们可以定义A是这样的一个数啊。啊,他是所有的这个数这个数是一个有理数,并且这个数它小于0.999的点,这是AB我就不写了,自然就是大于等于。吧,那么C一呢我们又可以定义成什么呢?定义成XX是有理数,并且X小于一对吧啊我们可以这样进行戴德金分割啊,这个是第一种分割的第一个集合,这是第二种风格的第一个结合。现在我想证明啊这两个数字是一个数字,就是要证明这两种分割是一样的。我们要想证明这两种分割是一样的,就要证明这两个集合是一样的。

        我们怎么证明这两个集合是一样的呢?我们看啊我们要证明。A集合是完全等于C集合的,怎么证明第一步我们在集合A中取一个元素,这个元素呢它是集合A中的元素。A的结合是每一个元素都小于这个数啊,所以呢自然这个数就小于0.999点点,对吧?不管0.999是到底等于一还是小于T现在是小于0.999。所以替一定会小于一对,不对,T小于1,他就满足哪个定义,满足第二个定义吧。所以呢所以T是集合C中的元素。好了,我们看如果T是A中的元素,T就一定是C中的元素,就说明A中所有元素都是C中的元素。

        因此AHC的字迹,我们在反过来看。如果有一个元素,它是C中的元素,也就是说呢这个数它是小于一的。我现在要证明呢,他也一定会小一点点。999啊,我们怎么证明这件事呢?不要忘了。逖是个什么数?有理数对不对?所以T可以写成P和QP的除法的形式,P和Q呢都是整数啊,这个时候呢它小于一。从此我们就可以看出这个P啊它是小于Q的。啊,两个整数,而且P小于Q于是呢我们又可以把这个数字进行变形,叫做一减T等于一减P除以Q通分等于Q分之。Q减P我们知道啊Q比P大对不对?所以Q减P比1的大于等于啊大于等于一除以秀,对不对?好。

        不管这个Q是什么,我们知道呢总能找到这么一个自然数N使得十的N次方这个数肯定可以比。Q大,我总能找到这样一个数,不管你这个Q有多大,对不对?所以呢我们就可以找到一个数十的N次方分之一,它是小于Q分之一的。我们把这两个结合一下,也就是说我一定能找到一个自然数N使得一减去T他大于等于Q分之1,而Q5分之一又大于十单次,万分之一。大于10的N次方分之一,所以T就会小于1减10的N次方分之一,1减10吨N次方分之一得几。得0.29 9.29几个9N个九对不对?小于这个数,而这个时候只有N个九啊,0.99循环,它是无限多个酒。

        所以他小于0.9996点,于是得出结论,T其实也是A中的元素。如果th c中的元素T就一定是A中的元素。所以说C是A的子集。二是C的子集,see, you是A的子集,因此怎么样A等于C德政。也就是说这两种分割是完全一样的,每一种分割对应了一个数两个分割一样,说明这两个数一样。所以这个式子德政。

        多么漂亮的证明啊,也许有人会说呀,明明是一个非常简单的数学问题,你怎么搞的这么复杂?在这里我必须发表一下我的看法。古希腊呢有许多的先贤智者,他们会讨论,比如说阿基里斯能不能追上乌龟。Q号二到底是不是数,这样看起来毫无意义的问题,他们认识到有的时候经验并不是真实的,而推理和证明更加可靠,这是一种思想上的革命。在这种思想的影响下,欧几里德写成了几何原本。从几个公社出发,演绎出整个几何学大厦,而亚里士多德呢又建立了自己的逻辑体系。他们呢都是古希腊先贤的优秀代表,这种思想呢在文艺复兴之后的欧洲繁荣起来,也使得欧洲呢成为近代科学的中心。

        有时候科学家们研究数学、科学和哲学,并不是因为他们是有用的,或者他们能带来名誉、财富和地位,而仅仅是因为他们是有趣的。他们可以使我们更加认识这个世界,使我们更加接近真理。科学家们有时候很像是登山者,有人问第一个从北坡攀登珠穆朗玛峰的登山者乔治马洛里,你为什么要攀登珠穆朗玛峰呢?马杜里说,因为他就在那里。

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