一元二次方程有新解法?李永乐老师讲韦达定理

作者: admin 分类: 科学 发布时间: 2021-09-27 14:56

        最近有一个初三的小朋友跟我说呀,他们本来这个时候都应该开学了,但是因为疫情影响呢,只能在家学习。然后老师又搞了一个网上考试,马上就要考试了,心里非常忐忑。这次考试的重点是1元2次方程和伟达定理。他想让我讲一讲,刚巧啊前一段时间呢美国卡内基梅隆大学教授罗伯森提出了一种1元2次方程的新解法。有媒体说呀,这是3000年来都没有人发现的神奇方法。

        那今天呢我们就来讨论一下1元2次方程的问题。解约2次方程当然有很多方法,不过呢我们重点讨论一个定理,叫做韦达定理。在我们上学的时候呢,韦达定理是初中的一个非常重要的内容啊,但现在有些地方好像不考这个定理了啊。韦达定理说的是什么呢?比如针对一个1元2次方程AX平方加BX加C等于0,而且呢A不等于0。这就是一个1元2次方程了。这个1元2次方程呢,它有两个根啊,两个根,这两个根满足什么关系呢?满足X1加X2 2根之和等于负的啊。A分之B而X1乘以X2等于A分之C那么这个关系我们就称之为韦达定理。

        在初中阶段呢,我们一般认为只有判别式大于零的时候,这个式子才成立。但是事实上呢,就算判别式是小于零这个方程它是有负数根的。这个韦达定理依然是成立的。那么我们利用韦达定理呢,其实可以求解1元2次方程。我们来举一个简单的例子啊。比如说这是一个简单的1元2次方程,叫X平方减8X加12等于0。

        哎,我问请问它的根是多少?我们有很多方法来求解。比如说啊我们可以使用韦达定理的方法。韦达定理怎么解呢?说假如两个根,一个根X11个根X2,那么它们加起来应该是负的A分之BA是一,B是-8负的A分之B就是8。对吧?X1乘X2是A分之CA是一,B是12,A分之C12,两个数的和是八两个数的乘积是12。请问这两个数是几呢?我们一猜也能猜出来啊,一个是二,一个是六嘛,2加6等于。等于8 2乘6等于12,所以这两根就出来了,X一等于2,X2等于6,对吧?但是罗伯辰教授就认为啊说你还需要猜,那数学是不能靠猜的。能不能把它算出来呢?当然算也是可以算的。方法就是利用求根公式嘛,对吧?我们上初中都学过这两个根,它应该等于。

        啊,2A分之负B加减根号下B方减4AC对吧?那这里面呢A就是一。B就是-8,而C就是12,我们带进去依然可以得到X一等于2,X2等于六这样的两个根,对吧?不过萝卜神教授又说你用这种方法的话,就需要背一个非常复杂的公式。这公式这么复杂,一般学生也背不下来呀,是吧,怎么办啊?罗教授说,我们可以用一种新的方法,那我们来看罗氏方法是什么样子的。俄罗斯。博文神教授是美国奥数队的总教练啊,曾经拿过世界冠军的。

        那么他的这种方法是这样的,我们还是从伟大定理出发。我们看X1加X2等于8,说明这两个根平均来讲是4,对不对?所以呢我们可以设这第一个跟X一啊,它就是四减U啊,第二根X2呢就是4加U是不是可以这么设,这样一来加起来不就是八了吗?然后我们还需要保证它俩乘起来是十二,那这时候U应该是等于几呢?我们把它乘一下X1乘以X2等于4,减U乘以4加U。大家看这不正好是平方差的形式嘛,所以它的结论是16减U方对不对?16减U方等于几?根据韦达定理等于12,所以它等于12。这样一来,U方等于4,U等于正-2。那么不管U是取正二还是-2,其实得到两个根都是一样的。比如说我们就取U等于正2。

        这样一来就得到了X一等于4减2等于2,X2等于4,加二等于6。这样一来啊,你就既不需要去猜根是多少,也不需要记这么复杂的公式。你看这个方法是不是挺好的,其实我也觉得这个方法是一个不错的方法。不过呢经过媒体这么一渲染之后,变成了一个3000年没有这大变革啊,这个就让人感觉到很可笑了,是吧?啊,罗教授自己也说过,就是这种方法并不是什么特别神奇的方法,它只是一个小技巧。它不过就是把求根公式这个公式法变成了一个计算的这样的一个方法。我们在考试中啊用一些小技巧啊,可以简化我们的计算。

        比如说一个静止的车上人往下跳,问车速变成多少这个动量守恒的问题比较好解。但是如果车在运动,你怎么去求解呢?那我们可以更换参考系,依然认为车是静止的。算出来之后再叠加回原来车的速度就可以了。所以这实际上就是一个技巧,数学技巧啊。不过我们既然说到了韦达定理啊,不妨啊我们就把韦达定理的这个普遍形式。来说一下就是高次方程,它的韦达定理是什么样子的。啊,大家在初中的时候啊,大部分都只学过2次方程。

        但实际上呢,韦达定理并不只是针对2次方程。比如说呢我们先说一个3次方程的。3次方程有几个根呢?AX的3次方加BX的平方,加CX加D等于零说这个3次方程有几个根呢?代数基本定理告诉我们啊,N次方程就有N个根,2次方程一定有两个根。虽然有可能它判别式是负的,但是在负数域内它依然是有两个根的。同样这3次方程就一定有三个根,这三个根有可能是有相同的啊。啊,也有可能有些根不是十根,但它一定有三个根,这个规律就叫代数基本定理。它是由伟大的数学家高斯在22岁的时候证明的,那非常非常重要的一个定理。所。所以这个方程一定有三个根,那我们就设这三个根是X1X2X3。那么它的伟大定理应该怎么写呢?首先X1加X2加X3啊跟241样。

        等于几呢?等于负的A分之B没有什么区别,对吧?第二步是要乘乘的时候怎么乘乘2个X1X2X1X3。X2X3,然后把它加起来,加完了之后等于什么呢?等于A分之C第三步把它们都乘起来。X1X2X3乘起来。等于负的A分之D好,这个就是3次方程的根与系数关系,或者叫韦达定理。咱们观察一下,后面呢它分母都是A对吧?分子依次是BCD,所以很好记。其次呢正负号,第一个是负的,然后是正的,然后是负的也很好记,对不对?按照这个规律,你能写出4次方程跟与系数的关系吗?4次方程。就是AX4次方加BX3次方加CX平方加DX加E等于零啊,这是个4次方程,它有四个负数根。对吧这四个负数根有什么关系呢?首先X1加X2加X3加X4得几得负的A分之B对吧?很简单啊。第二个相乘X1X2X1X3X1X4X2X3X2X4X3X4啊。把它们都加起来,加起来得啥?根据刚才的规律,它应该等于正的A分之C对吧?第三个就是三项乘起来啊。

        X1X2X3X1X3X4X1X2X4X2X3X4。把它们都加起来得几啊,等于负的A分之D对吧?最后一项啊把他们四个全乘起来,X1X2X3X4乘起来。等于A分之E好,那这个规律就是4次方程的韦达定理了。按照这个规律,五次六次七次八次,是不是你也都知道了啊,韦达定理,这是神奇是吧?在这个特殊的时期啊,大家在家里面通过各种形式学习,既是对防控疫情的贡献,同时也是充实和完善自我的一个过程。有一句话叫做不怕同桌是学霸,就怕学霸放寒假。那现在这个寒假的时间这么长,大家一定要好好的利用。现在呢打开抖音西瓜视频和今日头条,输入。在家上课就会有很多课程供你选择呀,真是太棒了。

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