周长一定的情况下,为啥圆形面积最大?李永乐老师讲等周定理

作者: admin 分类: 科学 发布时间: 2021-09-14 23:41

        有小朋友问我啊,说为什么在同等周长的所有图形当中,圆形的面积是最大的。还有同学问。我说为什么在所有等面积的立体之中,球体的体积是最大的呢?这个问题啊听起来好像是很简单,但实际上证明起来非常麻烦。人们证明这个定理证明了两千多年,那我们今天就在一起研究一下这个问题。我们首先呢先从古代开始。

        说一下这个问题。对于圆形面积大这件事啊,最早的应用应该是在公元前814年。公元前814年呢,有一个啊国家建立了这个国家呢名字叫加特基国。伽太基这个名字大家可能听说过啊,它的含义是什么呢?它的含义要一张牛皮啊,说为什么叫一张牛皮呢?这是怎么来的呢?传说啊。加太基是现在的突尼斯那个位置啊,传说呢在迦太基国建立之前啊,有一个古老的国家。这个国家里面有一种人叫翡尼基人,这翡尼基人本身是西亚的人。他们国家内断了,所以呢有一个国王的姐姐或者是一个公主啊,就是这么一个人物。

        他带着他的族人来到了突尼斯。到了突尼斯之后,他想向当地的人买一块地皮送给当地很多礼物。当地人呢又不卖,他就说我只要一块牛皮能够围起来的面积就可以了。然后当地人一想一块牛皮能有多大,那你就围吧,于是就让他围,没想到他把一块牛皮啊切。剪成了很多个小条,然后在海岸这儿围成了一个半圆形,围成一个半圆形。那我们可以想象,如果你剪的非常细的话,这个面积很大啊,于是就在这个地方呢建立了一个国家,这个国家就叫加太基啊。

        后来加太基发展的非常。强大成为当时和希腊并行的啊地中海沿岸最强大的国家,最后被罗马灭掉了。啊,这个应该就是人们对于这个圆形面具大的最早的应用啊,那么为什么圆形的面积最大呢?这件事吧,我们称之为啊等高定理。等周定理。等周定理怎么说的呢?他是这么说的啊,等周定理说说在啊在周长。周长一定的平面图形之中。周长一定的平面图形中啊圆形。它的面积是最大的。

        圆形的面积是最大的,这个呢就是等轴定理。最开始的时候,人们并没有证明出这个定理,但是人们都在不停的使用它,而且没有人怀疑这个定理是有问题的。而且他确实是对的啊,那么最早尝试去证明这个人呢啊是一个古希腊的数学家,名字叫芝诺多罗斯。啊,芝诺多罗斯这个芝诺多罗斯,他去证明这定理的时候啊,分了这么几个步骤啊。比如说呢他证明了这么一件事儿。

        他说呢在等周的多边形中啊,正多边形。正多边形面积大。也就是说呀,你如果是一个五边形,我是正五边形,那我就面积比你大啊,在周长一定的情况下啊,你是六边形,我是正六边形周长一定的情况下我们。面积就比你大,那正多边形的面积大,这是第一个。它证明了第二个在同样等周的正多边形中啊,边数越多。边数越多,面积越大。

        边数多。面积大。那我们来举几个例子啊,比如说正多边形,别墅多,面积大,这事我们先以三角形为例吧。假如一个三角形它必须周长一定嘛,我们假设周长是一,那这样的话,那三个边每个边。边长是三分之一对吧,我们知道三角形面积公式是二分之一,底乘高底是三分之一,这高是多少呢?三角形比底边长的一半六分之一。然后这个高线因为这角30度,所以它它的根号三倍。

        啊,这个高线应该是六分之根号3,所以这个面积呢就是二分之一乘以底,再乘以高就这么一个数。那么这个数呢等于0.04811啊,这是正三角形。假如我把周长为一的图形变成一个正方形呢啊这个正方形啊。边长应该是四分之一对。不对,那这个面积就很简单了,就是四分之一乘四分之一嘛,结果是十六分之一,就是0.0625,你看一下从正三角形变正四边形,它面积变大了,对不对?啊,正五边形不好算,咱们跳一个变成正六边形,正六边形。正六边形面积好算。正六边形吧,它是可以分割成六个正三角形,每个正三角形边长都是六分之一,对不对?所以它的高线也很简单,就是12分之根号3。

        因此它的面积就是每一个三角形的面积二分之一乘以底,六分之一乘以高12分之根号3。然后一共有几个呢?一共有六个,对不对?啊,这个数他等于0.0722啊,他说呢,你按照这个规律去找啊,正多边形面积比非正多边形面积大,而正多边形之中呢边数越多,面积越大。你把边数无限变多,它变成什么了?它不就变成一个圆形了嘛,所以它就是说在周长一定的时候,圆形的面积最大,周长一定。圆形。面积是最大的。好,那咱们来看一下,如果周长是一圆形的,面积有多大?周长是一半径是多少啊?周长是18。应该是周长除以2派对不对?所以说呢它这个面积啊就是多少,就是啊这个派R方派乘以R的平方,然后呢。等于派乘以2派分之一的平方啊,这个数算出来等于0.07958。好,你看一下圆形的面积比他们都大,对不对?但是他这个定理啊证明的问题很大,尤其是最后一步,你从正多边形你要推出圆,看起来好像是一小步,但实际上中间涉及到一个极限的变化。而在那个时代,人们对于极限呢无穷小讨论都很不清楚。

        所以这种证明人们认为是非常不严格的啊,那么在中世纪的时候,数学也没什么发展。再往后的时候呢,人们又去研究,比如很多奇怪的数学问题,没有人去搞他,包括高斯啊欧莱。都没有去搞他,于是这个问题就一直流传下来。

如果觉得我的文章对您有用,请随意打赏。您的支持将鼓励我继续创作!