微分几何与高斯绝妙定理:什么样的曲面才能展开成平面?

作者: admin 分类: 科学 发布时间: 2021-09-08 22:34

        你知道什么是微分几何吗?微分几何起源于数学家对于曲线和曲面的研究,如今呢已经成为广义相对论的基础与拓扑学等物理理论密切相关。学过微分几何的小伙伴都知道这个理论特别的复杂,普通人呢很难理解他的全貌。今天我们就来讲一讲微分几何中一个相对容易理解的定理。高斯绝妙定理。生活中有各种各样的曲线,如果用一个圆儿与曲线的一部分紧密贴合,这样的圆儿呢就叫做取力圆,它的半径叫做取力半径。

        取力半径的倒数就叫做曲率。曲线越平缓的地方呢,曲线半径就越大,曲率就越小,而曲线越弯曲的地方曲力半径越小,曲率就越大。对于一条直线来讲,与它密切的圆儿半径是无限大。所以直线的曲率半径无限大,直线的曲率是0。现在呢我们从曲线升级到曲面,对于一个曲面来讲,不同的方向会有不同的弯曲程度。比如有一个相交,它沿着某个方向是凸起的,沿着另外一个方向呢却是凹陷的,而且二者弯曲的程度也不一样。为了描述曲面上某个点具体的弯曲程度,我。

        我们可以用同一个面去切割曲面儿,这样呢就会得到一条相交线。这条相交线在这一点就存在曲率。当我们旋转这个平面的时候,就会获得很多条切割线。比如说一个烟囱啊,我们横着切会切出一个圆形,竖着切呢会切出类似于双曲线的形状。在1760年,著名的数学家欧拉证明了一个定理,在一个群面上某个点做不同的切割面会得到很多条切割。曲线这些曲线中曲率最大和曲率最小的两条曲线,它们的曲率叫做主曲率,而主曲率对应的平面叫做主平面,主平面一定是互相垂直的鳍。

        下面我们继续升级,在二维平面上直线可以弯成曲线,同样在三维空间中平面也可以弯成曲面。在1827年史上最伟大的数学家高斯发现。如果曲面上某个点的主曲率分别是K1和K2,他们的乘积就叫做高次曲率。当曲面在高维空间发生弯曲的时候,主取力的值会发生变化,但是它们的乘积。高斯取力却会保持不变,这个规律就叫做高斯绝妙定理。我们来举一个例子啊,比如有一个比赛它是平面任何一点的高斯曲率都是零。当我们取比赛的时候,比赛有两种弯曲的方式。但是高斯取缔为零是不会发生变化的。

        换句话说,比萨在弯折的地方依然会存在一条取缔为零的直线。高斯绝妙定理可以解释许多曲面的问题。比。比如说我们可以把橘子皮剥开,但是无论如何都没有办法展开成一个平面,这是为什么呢?原因是平面的高斯曲率是0,如果一个曲面可以展成平面的话,它的高斯曲率也必须是零。换句话说,过这个曲面上每一个点都至少要有一条直线,它才能够展开成平面圆柱圆锥都可以展开成平面。

        因为它的母线是直线。球面不能够展开成平面,因为过球面上任何一个点都没有。直线理论上讲是没有办法在一个平面上画出世界地图的,人们只能采用各种各样的投影法,画出地图的近似情况。比如墨卡托投影法就是把地球投影到一个圆柱上,然后再把圆柱展开。这样做的结果就是两极地区的面积会变得非常大。看起来呀格林兰岛的面积比非洲还要大,而南极洲更是跟整个欧亚大陆差不多。

        多了。高斯绝妙定理,能够处理很多复杂的曲面弯曲问题,比如螺旋曲面和旋律面曲面看起来完全不一样,但是呢他们却可以通过弯曲变换出来。在这两个曲面对应的点上,高斯曲率也是相同的。当年高斯发现这个规律的时候啊,情不自禁就自己给他起了一个名字,叫做绝妙定理。多说一句啊,高斯的得意门生黎曼将高斯的曲面理论发扬光大。创立了黎曼几何,在爱因斯坦创立广义相对论的过程之中呢,也敏锐的发现我们的时空其实是弯曲的,不能用通常的欧基里德几何来解释,但是又苦于找不到更好的工具。

        他向自己的同学几何学家格罗斯曼求助,格罗斯曼呢就把黎曼几何介绍给爱因斯坦了。利用这个数学工具呢,爱因斯坦终于创立了广义相对论。爱因斯坦自己都说,他没有想到宇宙的真理居然存在于数学当中。

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