无理数到底是不是数?李永乐老师讲数学公理化

作者: admin 分类: 科学 发布时间: 2021-09-06 15:22

        那么数学公理化到底是怎么回事呢啊?数学公理化呀是指啊。从啊第一次数学危机,人们讨论根号2,第二次数学危机人们讨论无穷小到底是什么,人们就觉得呀数字啊需要基础,你必须告诉我数字到底是什么。就像欧基里的当年在几何原本里边写从五条公社推出其他所有结论一样,那树到底是什么呢?对吧?那么为这件事做出贡献的有很多人,比如说有这个柯西啊。啊,有这个康托尔,还有我们今天所要讲的叫做戴德金。我们呢通过戴德金的这种方法啊来思考一下数学的公理化。

        戴德金分割。戴德金德国数学家,他是高斯的学生,也是黎曼和狄利克雷的这个同事啊,那么戴德金这个人呢,他提出了一种方法,说我们可以通过这样的办法来构造一个实数。我就告诉你实数是这个样子的,以后你就承认。那五笔竖它就是数了,说怎么怎么弄呢?首先呢我们知道啊在一个数轴上应该有无穷多个有理数点,对不对?这些都是有理数点啊,有理数呢。我们一般是把它写成Q大家都听说,那你这样你把这个有理数啊分成两段,把它中间一切分成两段,一个集合是A一个集合是B啊。啊,这个题和A和B之间有什么特点呢?首先啊第一个它的分割方法。啊,分割成A与B。

        那么分割成A与B并且有个特点就是A交B是空集,A交,B是空集是什么意思呢?就是说A和B没有重复的元素啊,你把有理数的。分成了两个部分,这两个部分一个是A一个是B他们没有重复的元素,但是A并B它却必须是有理数。也就是说A和B的元素加起来它刚好等于有理数啊,相当于中间切一刀。不仅如此啊,他还有一个要求。第二个要求第二个要求是什么呢?就是假如啊有一个元素A它是属于第一个集合的,有一个元素B它是属于第二个集合。显而易见啊,小A和小B它都是有理数啊。

        因为A和B是在有理数集合上分割出来的,那么则一定会有一个结论,A小于B那这就说明啊其实就是A这个集合,它是在B集合的左侧。好,如果你做这样的一个分割,我们就称之为戴德金分割。这个分割有很多种方法,比如说你可以在零这切一刀零左边的是一类0,右边的是一类,对吧?你可以在二这儿切一刀,你还可以在根号二这切一刀。所以戴德金分割有很多种方法啊,那么这个分割的结果是怎样的呢?第二个我们来说一下儿分割的。结果啊。戴德金呢经过讨论啊,说这个分割结果有以下的这么几种可能啊。第一种可能是什么呢?第一种可能叫做A中。有最大。

        B中。无最小。哎,有人说这什么意思?什么叫A中有最大,B中无最小?我举个例子啊,比如说我们把A集合写成这个样子。一个数字,它是有理数。但是呢这个数字它小于等于2,这就表示所有小于等于二的有理数。

        大家想象一下,这个时候A集合中最大的元素是不是就是二啊,对吧?这叫A中有最大。那B呢B我们自然而然要把它写成XX属于Q,并且X大于2。对吧,变成这个样子,那么B中没有最小的,因为B中的最小元素是大于2,它没有一个最小的元素啊。这种情况下,如果我们在这个图上画的话,大概可以画成这个样子。A这儿有一个实心儿的点儿啊,表示A中有一个最大的元素,而B呢没有实心儿的点儿。B这一端呢是没有点儿的,就说明啊B最左端没有元素啊,它没有最小,这是第一。

        可能啊叫A中有最大,B中无最小。我们再来看第二种可能第二种可能叫A中无最大。A中无最大,而B中有最小就把它反过来了啊,那显而易见,我把这个等号挪后面就行了,对吧?A集合是小于2,B集合是大于等于二就行了。在图上去画A中无最大,所以A这一端呢没有点儿,而B中有最小,B中呢是这个样子的。好,这是第二种可能。第三种可能。

        是A中无最大。B中也无最小,哎,又出现了这样的一种可能,说这是什么情况呢?举个例子啊,比如我让A集合写成。一个数这个数是有理数,并且这个数字它小于零或这个数字的平方小于2。这是A集合,咱们看啊它是负数就是可以的,它负的有理数是可以的。它如果是正的有理数的话,它的平方要小于2。那也就是说其实表示的是A小于根号2,对吧?我们再来看BB呢,我们可以把它写成一个集合,这个集合叫X是有理数,X大于0,并且呢X的平方。大于2。

        好,那实际上它表示的就是X大于根号2。咱们来看这两个集合啊,这个集合其实就是在根号二那切了一刀,而A中有没有最大元素呢?它没有,为什么呢?因为根号二它不是有理数。A和B都是有理数的一个分割嘛,对吧?B中有没有最小元素,它也没有,因为它最小的元素是根号2,但是根号二它不是有理数啊,所以这种情况下我们画图呢就两端都。都没有点儿啊,两端都没有点儿。可能有同学说,那还有第四种情况什么?第四种情况呢就是A中有最大。还有呢B中有最小,哎,有没有这种可能呢?A中有最大表示这个A集合它有一个点儿。最大的元素我们可以设它为A啊B中有最小最小元素,我们可以设它为B咱们看啊首先A和B能不能是公共元素呢?不能因为我们刚才说了,A交B是空集,对不对?所以首先我们知道了A不等于B既然A不等于B根据我们刚才所说,A和B都是有理数,A和B都是有理数。所以A加B除以二怎么着也是有理数。但是A加B除以二这个数它既不在A中,也不在B中。这样一来就跟A并B是有理数发生了什么?发生了矛盾。

        对吧矛盾说明什么,矛盾就说明第四种情况啊,其实是不存在的啊,你不可能分割的时候分割成这种情况啊,于是只有前三种情况呢前。前三种情况中呢,第一和第二两种情况,切一刀端点会出现有理数,对不对?那么第三种情况呢,端点没有有理数,这说明什么?说明这一刀吧,正好从两个有理数中间的空隙。翻过去了。这就说明有理数其实中间是有空隙的,谁去填补这个空隙呢?大家今天说我们可以定义一种数叫无理数,无理数就。有理数的什么空隙?因此他通过这种办法就定义了无理数了啊,大家都听说呢我可以通过大结晶分割定义全体实数。我擦一下黑板,那么戴德金呢就说。对呀,我通过这种分割的方法就可以定义实数了,也就是有理数。有理数的全体分割。有理数的全体分割就构成了齿数。啊,我们简单解释一下啊,就是说呢我们把有理数进行戴德进行分割,有可能啊这个分割点它是个有理数,对吧?也有可能分割点,不是有理数。

        如果分割点不是有理数,我们就叫它无理数。现在我把所有的分割点都给我加起来,就构成了实数。每一个实数其实对应的是一个带得进行分割。那我们可以想象啊,既然有理数它是有空隙的,我们切一刀下去有可能会切不到有理数。那实数有没有空隙呢?它是不是连续的呢?戴德金呢证明了这样的一个定理。他说呢我们可以通过推理的办法得出这样一个结论。如果我们对实数。进行分割会有什么结果?如果我们对实数进行分割的话,我们这个分割点就只有一和2。两种情况。一二两种情况,你对实数进行分割,要不然呢这个左边的这个集合A还有一个端点,这个端点是个实数。

        要不然呢这个结合B还有一个端点,端点是实数。不可能出现第三种情况,两端这个点都没有最大值和最小值这种情况这个不存在,这就说明什么呢?说明你对实数的轴上切一刀,一定能够切出或实数来,而不会切出一个其他的新的数字来。因此实数是什么呢?实数是完备的。实数是完备的,其实呢也可以叫连续的啊连续。但是比较好的说法呢是完备的。于是我们也就知道了,原来啊这个实数是一个连一个把这个数轴整个填满的。但是有理数并不是这个样子的,那这个过程呢就叫做实数的公理化。其实实数公理化有很多种方法啊,除了这个戴德金的这种方法以外,康托尔和这个柯西也自己有自己的方法。但是通过数据可以证明他们之间呢都是等价的。

如果觉得我的文章对您有用,请随意打赏。您的支持将鼓励我继续创作!