有理数和无理数到底是什么?李永乐老师讲数学公理化

作者: admin 分类: 科学 发布时间: 2021-09-05 19:25

        经常有小朋友问我这样一个奇怪的问题。0.999循环到底等不等于一呢?如果我们在网络上搜索这个问题的话,会看到许多用初等数学的方法进行了证明。但是这个看似简单的问题,其实必须使用数学公理化和实数的构造才能进行严格的证明。今天呢我们就通过这个例子带大家了解一下数学公理化的无限魅力。为了了解数学公理化,我们呢首先。

        首先从一个大家都知道的概念有理数说起。什么叫有理数呢?有理数啊就是表示一个数字可以写成两个整数的比。如果P等于M除以N而且M和N都是整数,那这样一来这个P就是一个什么数,就是一个有理。数对吧,啊,就是个有理数。很显然呢在数轴上有非常非常多个有理数,比如说吧零就是有理数对吧?一也是有理数二也是有理数。负一也是有理数,所有的整数点都是有理数,但是呢不是整数的点,也有有余数,比如零和一之间,还有什么?还有正中央这个点2分之一二分之一也是有理数吧。零和二分之一之间的正中央那个点叫四分之一四分之一是不是也是有理数啊?如果我们取零和四分之一,中间那个点是八分之一,八分之一,是不是也是有理数啊,这就说明是什么?说明在零和一之间其实有无穷多个有理数,这是我们知道的第一个结论。

        这个结论叫有理数的稠密性。啊,稠密性稠密性的意思是说呀在任意两个有理数之间。任意的两个有理数。之间。都有啊。无穷多个有理数。

        都有无穷多的有语数。这个呢我们就称之为有理数的重密性。毕达哥拉斯呢就认为啊说这个数轴上的所有点其实都是有理数啊,有理数是成哋的,而且是连续的。但是呢。事实上并非如此,对吧?我们也很容易构造出一个无理数来,怎么构造呢?我们可以0到1之间的距离,为边长做一个正方形。这个正方形边长就是。于是它的斜边是多长啊,斜边是根号2对吧?我们利用尺规把这个根号二画一个圆儿画上去。那么这个点的数字对应的就是根号二根。

        根号二它就不是有理数,它不能表示成两个整数的比对不对?所以呢有理数啊其实并不是连续的并不是连续的。这个在数学上我们称之为有理数是不完备的。有理数是不完备的。啊,也就是说呢,虽然呢有底数是无限稠密的。你随便给我找两个有理数,他们中间都有无限多个有理数,但是这些个有理数它并不是连着的。

        它中间有无底数隔着,并且啊比如说一和二之间,它不仅仅有根号二这么一个无理数啊,它有很多个无理数。举个例子啊,根号二是在一和二中间的无理数吧。啊,一加上二分之根号2,这个数也是无理数,而且它也在一和2之间,对吧?一加上二的平方分之根号2,这个数也是无理数吧。一加上二的3次方分之根号2,它也是无理数。所以在一和2之间其实有无穷多个无理数。换句话说呀,任意两个有理数之间也有无穷多个无理数。

        所以有理数是稠密的,但是它并不是连续的,它在数轴上是以一大堆的这样的点的形式啊存在的,它无限的稠密,但是它却不是连续的。我们究竟该怎么样去定义无理数呢?这实际上是一个数学难题,以至于啊很多年以来,很多数学家拒绝承认无理数是数。他们认为有理数是数没问题,无理数就不是数,除非你给他一个定义。那么这个问题直到什么时候才解决呢?实际上啊是到19世纪末20世纪初的时候,轰轰烈烈的数学公理化运动开展之后,他才真正解决了从第一次数学危机发现无理数到最后无理数被解决掉,一共花了两千多年。

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